PROGRAMMI DEI CORSI

 

 

CORSO DI LAUREA IN SCIENZE E TECNOLOGIE PER L'AMBIENTE  

MATEMATICA I

Programma di massima per l'anno accademico 2006/2007. Gli argomenti non trattati saranno dichiarati nella pagina AVVISI del presente sito.

 PREREQUISITI: Algebra elementare: monomi, polinomi e operazioni fra polinomi. Trigonometria: definizione di seno, coseno e tangente; loro proprietà e relazioni; cerchio goniometrico, radiante. Geometria analitica: equazioni di retta, circonferenza, ellisse, parabola, iperbole; intersezioni di figure piane.

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INSIEMI Intervalli. Insiemi limitati e illimitati. Estremo superiore e inferiore, massimo e minimo di insiemi.

DISEQUAZIONI

ALGEBRA LINEARE: vettori in Rn; matrici, operazioni, determinante, rango, inversa; risolubilità dei sistemi lineari.

CALCOLO COMBINATORIO: disposizioni semplici e con ripetizione, combinazioni semplici, permutazioni semplici; formula del binomio di Newton.

FUNZIONI: definizione, diagramma, funzione composta e funzione inversa; monotonia; convessità; funzioni elementari e loro diagrammi; diagramma delle funzioni inverse di seno, coseno e tangente.

LIMITI: definizione, teoremi di: unicità del limite (*), della permanenza del segno (*), di esistenza del limite per funzioni monotone, del confronto (*); calcolo dei limiti. Principali limiti notevoli. Infiniti, infinitesimi, loro confronto e teoremi fondamentali.

CONTINUITA': definizione, punti di discontinuità; teoremi di Weierstrass, degli zeri , di Darboux (*). Limiti notevoli: (sin x)/x)(*), (ax-1)/x (*), (1+1/x)x e limiti da questi dedotti.

DERIVABILITA': definizione, significato geometrico. Implicazione di continuità (*); derivata delle funzioni elementari; regole di derivazione: somma, prodotto, reciproco, quoziente; derivata della funzione composta e dell'inversa. Differenziale e suo significato geometrico. Teoremi di Rolle (*), Lagrange (*) e suoi corollari (*), Cauchy; Formula di Taylor e di Mac Laurin. Studio di funzione: crescere e decrescere, condizioni per l'esistenza di massimi e minimi relativi; verso della concavità, asintoti.

INTEGRABILITA': definizione, proprietà dell'integrale definito, condizioni sufficienti di integrabilità. Teoremi del valor medio (*) e di Torricelli-Barrow (*), fondamentale del calcolo integrale. Funzioni primitive; integrale indefinito. Regole di integrazione per scomposizione, per sostituzione, per parti. Integrale in senso generalizzato.

 N.B. gli argomenti contrassegnati con (*) saranno richiesti alla prova orale con dimostrazione. Degli altri argomenti si richiederà una chiara esposizione e la comprensione dell'utilizzo.

Testi consigliati:

A. Guerraggio: Matematica Generale, Bollati Boringhieri

L. De Biase, E. Maluta, C. Zanco: Questionario di Analisi Matematica I, G.Giappichelli.

 

MODALITA' D'ESAME

Il corso prevede due prove scritte intermedie, relative, ciascuna, a metà del programma. A chi ottiene una media dei voti delle due prove non inferiori a 14/30 viene concesso l'esonero dalla prova scritta finale e l'accesso alla prova orale (anche più di una volta).

Gli studenti che non partecipano alle prove pre-esame o che ottengono medie insufficienti devono sostenere sia la prova scritta che la prova orale.

Ulteriori dettagli saranno pubblicati su questo sito.

 

 

CORSO DI LAUREA IN SCIENZE E TECNOLOGIE PER L'AMBIENTE  

MATEMATICA II

Prerequisiti

Algebra lineare   Spazi vettoriali, combinazioni lineari, dipendenza lineare, definizione di base e dimensione dello spazio, sottospazi vettoriali, operatori lineari, loro rappresentazione matriciale e definizione di nucleo.

Programma d'esame 2007/2008

Successioni e serie numeriche e di funzioni  Convergenza. Criteri di convergenza per le serie numeriche a termini positivi: del confronto, del rapporto, della radice, del rapporto asintotico. Serie con i termini di segno alternato. Successioni di funzioni: convergenza semplice, convergenza uniforme. Serie di funzioni, serie di potenze, serie di Taylor.

Campo complesso

Definizione di numero complesso, modulo, argomento, forma algebrica, polare, esponenziale. Numeri complessi e coniugati. Somma, prodotto, quoziente di numeri complessi. Radici ennesime di un numero complesso.

Calcolo differenziale per funzioni di più variabili      

Limiti, continuità, derivabilità lungo una direzione assegnata, differenziabilità, proprietà delle funzioni k volte differenziabili. Formula di Taylor. Funzioni omogenee. Massimi e minimi liberi.  Massimi e minimi vincolati.

Cenni a metodi numerici per la ricerca di massimi e minimi liberi e vincolati.

Integrazione    Integrali di linea. Differenziali esatti. Dipendenza dell'integrale dal cammino di integrazione. Integrali multipli; cambiamento di variabili.

Equazioni differenziali ordinarie

Definizione di soluzione, integrale particolare, generale, singolare. Problema di Cauchy. Teorema di esistenza e unicità. Equazioni di ordine n. Equazioni lineari omogenee e non omogenee. Dipendenza e indipendenza lineare delle soluzioni. Equazioni lineari a coefficienti costanti: equazione caratteristica, radici reali e distinte, radici di molteplicità k, radici complesse. 

Equazioni particolari: a variabili separabili, lineari del primo ordine, lineari di ordine n a coefficienti costanti. Metodo della variazione delle costanti arbitrarie.

Approssimazione di funzioni reali di variabile reale    Interpolazione: formula di Lagrange, formula di Newton in avanti.  Minimi quadrati nel discreto. Approssimazione mediante funzioni spline.

Ricerca delle radici di equazioni algebriche    Separazione delle radici. Approssimazione di radici isolate mediante il metodo delle corde e il metodo di Newton; confronto degli ordini di approssimazione dei due metodi.

Metodi numerici per la soluzione di equazioni differenziali: Cenno ai metodi alle differenze finite.

Sviluppi in serie di Fourier Formule di Eulero.

Testi consigliati

Dispense preparate dai docenti

1. E Kreyszig: Advanced Engineering Mathematics, J.Wiley, New York 1988

2. M.Cugiani, A.Liverani: Introduzione all'Analisi Computazionale, Utet Libreria, Torino 1991

3. D.Roux: Lezioni di Analisi Matematica, Masson , Milano, 1984

4. A.Pagani, S.Salsa: Analisi Matematica Vol.2, Masson, Milano 1990

 

CORSO DI LAUREA IN SCIENZE E TECNOLOGIE PER L'AMBIENTE - CALCOLO NUMERICO

Programma d'esame 2003/04

N.B. Il corso non viene piùtenuto, ma, per gli studenti che lo hanno seguito, è ancora possibile sostenere l'esame

Successioni e serie numeriche e di funzioni  Convergenza. Criterio di Cauchy. Criteri di convergenza per le serie numeriche a termini positivi: del confronto, del rapporto, della radice, del rapporto asintotico. Serie con i termini di segno alternato. Successioni di funzioni: convergenza semplice, convergenza uniforme. Serie di funzioni, serie di potenze, serie di Taylor.

Approssimazione di funzioni reali di variabile reale   Interpolazione: formula di Lagrange, formula di Newton in avanti. Approssimazione ai minimi quadrati: polinomi ortogonali (Legendre, Chebyshev). Minimi quadrati nel discreto. Approssimazione mediante funzioni spline.

Ricerca delle radici di equazioni algebriche   Separazione delle radici. Approssimazione di radici isolate mediante il metodo delle corde e il metodo di Newton; confronto degli ordini di approssimazione dei due metodi.

Formule di quadratura  Formula dei trapezi

Soluzione di sistemi lineari algebrici  Metodo di eliminazione gaussiana

Metodi numerici per la soluzione di equazioni differenziali Cenno ai metodi alle differenze finite.

Sviluppi in serie di Fourier Formule di Eulero.

Testi consigliati

1. E Kreyszig: Advanced Engineering Mathematics, J.Wiley, New York 1988

2. M.Cugiani, A.Liverani: Introduzione all'Analisi Computazionale, Utet Libreria, Torino 1991

3. A.Pagani, S.Salsa: Analisi Matematica Vol.2, Masson, Milano 1990

 

CORSO DI LAUREA IN BIOTECNOLOGIE - MATEMATICA - A.A. 2005-06

Insiemi: definizione, operazioni (unione, intersezione, complementazione). Insiemi finiti, numerabili, con potenza del continuo. Insiemi limitati e illimitati. Estremo superiore e inferiore, massimo e minimo.

Funzioni: concetti basilari; diagramma delle funzioni elementari; funzioni monotone, limitate; concetto di limite per le funzioni. Teoremi di unicità del limite(*), del confronto, di esistenza del limite per funzioni monotone, della permanenza del segno. Limiti notevoli: (sin x)/x)(*), (ax-1)/x (*), (1+1/x)x e limiti da questi dedotti.

Continuità: definizione, continuità delle funzioni elementari. Continuità della funzione composta e dell'inversa. Proprietà delle funzioni continue su insiemi (intervalli) chiusi e limitati (Teoremi di Weierstrass, degli zeri (*), di Darboux (*)).

Derivata: definizione e significato geometrico; derivata delle funzioni elementari; regole di derivazione. Derivata della funzione composta. Relazioni fra derivabilità e continuità(*). Teoremi di Rolle(*) e Lagrange(*) (con corollari), Cauchy. Regole di De l'Hospital. Derivate successive. Formula di Taylor. Differenziale.

Studio di funzione: insieme di esistenza, limiti agli estremi, asintoti, crescere e decrescere, verso della concavità; punti di non derivabilità; diagramma.

Integrale definito: definizione e proprietà. Criteri sufficienti di integrabilità. Teoremi del valor medio(*), di Torricelli-Barrows(*), fondamentale del calcolo integrale. Integrale indefinito. Regole di integrazione per scomposizione, per sostituzione, per parti. Integrale in senso generalizzato.

Equazioni differenziali ordinarie: equazioni a variabili separabili, lineari del primo ordine, lineari del II ordine a coefficienti costanti.

Cenni di calcolo numerico: approssimazione mediante interpolazione di set di dati sperimentali: polinomio interpolatore di Lagrange. Retta che approssima dati sperimentali ai minimi quadrati.

Formule di quadratura: dei trapezi. Ricerca di radici di equazioni algebriche: metodo di bisezione e metodo delle corde.

 N.B. gli argomenti contrassegnati con (*) saranno richiesti alla prova orale con dimostrazione. Degli altri argomenti si richiederà una chiara esposizione e la comprensione dell'utilizzo.

Testo consigliato: A.Guerraggio: Matematica generale, Bollati Boringhieri

Esercizi: raccolta dei temi d'esame, oppure

De Biase, Maluta, Zanco: Questionario di Analisi Matematica, G.Giappichelli editore